9.4.1平面几何中的向量方法教学设计-苏教版高中数学必修第二册

新理念-新标准-新高度新教材·新高考第九章平面向量9.4.1平面几何中的向量方法教材分析向量既是代数的对象，又是几何的对象.作为代数对象，向量可以运算.作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、角度等几何对象：向量有大小，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题.向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征，是数学中数形结合思想的典型体现.教学中应加强几何直观，突出几何直观对理解抽象数学概念的作用.要强调向量概念的几何背景，理解向量运算（加、减、数乘、数量积）及其性质的几何意义.在教学中要突出数形结合思想，注意从形和数两个方面来理解、研究向量及其运算。教学目标与核心素养课程目标学科素养1.会用向量方法计算或证明几何中的相关a逻辑推理：通过用向量方法证明平面几何问题，提升问题，逻辑推理素养2.体会向量在解决数学和实际问题中的作b数学建模：通过用向量方法解决平面几何问题，培养用数学建模素养。教学重难点1教学重点：会用向量方法计算或证明几何中的相关问题，2教学难点：体会向量在解决数学和实际问题中的作用.课前准备多媒体调试、讲义分发。教学过程◆惰克引入向量理论的发展有着深刻的几何背景这一源泉最早可追溯到莱布尼兹的位置几何的概念莱布尼兹认为代数仅仅能表达未定的数或量值，不能直接表达位置、角度和运动，利用代数运算来分析一个图形的特点、寻找方便的几何证明和构造有时是很困难的鉴于此，他提出了一个“新代数”，其中几何实体可以用符号来表示，并且这些符号可以直接进行运算，它不需要大量的乘法，不需要添加令人困惑的太多点和线这就是向量，问题1证明线线平行、点共线问题，可用向量的哪些知识？原创精品资源独家享有版权，侵权必究！新理念-新标准-新高度新教材·新高考a∥b台a=b(b0)台xy2一x2y=0(其中a=(x1,y),b=(2,2).问题2证明垂直问题，可用向量的哪些知识？a⊥b台ab=0台x2十yy2=0(其中a=(x1,y),b=(2,).·新知枕埋用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”()建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：(②)通过向量运算，研究几何元素之间的关系：(3)把运算结果“翻译”成几何关系。题型一利用平面向量证明平面几何问题【例1】如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，求证：AF⊥DE.证明法一设A心=a,或=b,则a=bl,ab=0.又成=D+花=-a+冷亦=+成=b+号所以亦成+a+月-子b+空+=0故A亦⊥D市，即AF⊥DE.法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0),D0,2),E(1,0),F2,1),则A正=(2,1)，D=(1,-2).因为A亦D成=(2,1)(1，-2)=2-2=0.原创精品资源独家享有版权，侵权必究！新理念-新标准-新高度新教材·新高考所以A正⊥正，即AF⊥DE规律方法利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式【变式训练】在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA=AB,求证：AC⊥BC证明，∠CDA=∠DAB=90°，AB∥CD,D=D1-8,故可设A市=e,D式=e,le=le,则A峦=2e2,Ad=d+D式=e1十e2,BC=AC-AB=(e+e2)-2e2=e-ez,而AtB武=(e十e2)(e-e)=e叶-e吃=le2-e22=0,∴，A亡⊥B武，即AC⊥BC题型二利用平面向量求几何中的长度问题【例2】如图，在平行四边形ABCD中，AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.转化为求解向量的模解设d=a,AB=b,则励=a-b,AC=a十b,而B励1=1a-b1=a2-2a-b+b=V1+4-2a-b=V5-2arb=2,∴5-2ab=4,∴ab=又4C2=a+b2=m2+2b+b2=1+4+2ab=6,4=6,即AC=6.规律方法用向量法求长度的策略(1)利用图形特点选择基底，用公式a=a求解.原创精品资源独家享有版权，侵权必究！